已知函数f（x）=a^x +（x-2）/（x+1 ） （a大于1）

解：

设f（x）=0有负数根
那么存在x＜0
使a^x+(x-2)/(x+1)=0
a^x=-(x-2)/(x+1）
左边0＜a^x＜1
∴0＜-(x-2)/(x+1）＜1
解得1/2＜x＜2
这与假设矛盾
∴f(X)=0时没有负数根

设-1<x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=a^x1- a^x2+（x1-2）/（x1+1)-（x2-2）/（x2+1)
=a^x1- a^x2+1-3/（x1+1)-1+3/（x2+1)
=a^x1- a^x2+3(x1-x2)/（x1+1)*（x2+1)
-1<x1<x2,a大于1
则a^x1- a^x2<0,3(x1-x2)/（x1+1)*（x2+1)<0
所以，f(x1)-f(x2)<0
所以函数单增！

任取X1,X2∈(-1,+∝),且X1<X2
F(X2)-F(X1)=a^x2-a^x1+(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)
∵a>1 -1<X1<X2 ∴a^x1<a^x2,x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0
∴F(x2)-F(x1)>0
F(x2)>F(x1)
∴F(x)在(-1,∝)上单调递增

对f（x）求导得。f′（x）=a^xlna+ 3/(x+1)^2
因为a>1,所以a^x>0, lna>0,所以a^xlna>0
又3/(x+1)^2在（-1，正无穷大）上大于0.
所以f′（x）=a^xlna+ 3/(x+1)^2>0
故，f（x）=a^x +（x-2）/（x+1 ） （a大于1）在（-1，正无穷大）递增。

证明：设x1>x2>-1
那么x1-x2>0
而f（x1）-f（x2）=
a^x1 +（x1-2）/（x1+1 ）-
[ a^x2+（x2-2）/